x² + y = b, 5. При каком значении параметра в система уравнений (x²+y² = 5 б) три решения?

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y = b \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$

Выразим x² из первого уравнения: $$x^2 = b - y$$

Подставим во второе уравнение: $$b - y + y^2 = 5$$

$$y^2 - y + (b - 5) = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = (-1)^2 - 4(1)(b - 5) = 1 - 4b + 20 = 21 - 4b$$

Для того чтобы было три решения, нужно, чтобы один из корней имел x = 0.

Тогда, если x = 0, то из первого уравнения $$y = b$$, а из второго $$y^2 = 5$$.

Значит, $$y = \pm \sqrt{5}$$

Тогда $$b = \sqrt{5}$$ или $$b = -\sqrt{5}$$

Пусть $$y = \sqrt{5}$$: $$x^2 + \sqrt{5} = \sqrt{5}$$ => $$x = 0$$

Пусть $$y = -\sqrt{5}$$: $$x^2 - \sqrt{5} = -\sqrt{5}$$ => $$x = 0$$

Три решения возможны, когда дискриминант равен нулю, и одно из решений x = 0.

$$21 - 4b = 0$$

$$4b = 21$$

$$b = \frac{21}{4} = 5.25$$

Ответ: три решения невозможны.