14. $$x+\frac{1}{x} \leq \frac{10}{3}$$

14. Решим неравенство:

$$ x+\frac{1}{x} \leq \frac{10}{3} $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ x+\frac{1}{x} - \frac{10}{3} \leq 0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{3x^{2}+3-10x}{3x} \leq 0 $$ $$ \frac{3x^{2}-10x+3}{3x} \leq 0 $$

Разложим числитель на множители:

Найдем корни квадратного уравнения:

$$ 3x^{2}-10x+3 = 0 $$ $$ D = (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$ $$ x_{1} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ x_{2} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Разложение числителя:

$$ 3x^{2}-10x+3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1) $$

Подставим разложение в неравенство:

$$ \frac{(x - 3)(3x - 1)}{3x} \leq 0 $$

Найдем нули числителя:

$$ x-3=0 \Rightarrow x=3 $$ $$ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3} $$

Найдем нули знаменателя:

$$ 3x=0 \Rightarrow x=0 $$

Отметим точки 0, 1/3, 3 на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

  -    +     -    +
<-(0)-(1/3)--(3)->

Решением являются интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю:

$$ x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{1}{3}; 3] $$

Ответ: $$x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{1}{3}; 3]$$