9. $$\frac{x^{3}-x^{2}-12 x}{x^{5}-6 x^{4}+9 x^{3}} \leq 0$$

9. Решим неравенство:

$$ \frac{x^{3}-x^{2}-12 x}{x^{5}-6 x^{4}+9 x^{3}} \leq 0 $$

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$$ \frac{x(x^{2}-x-12)}{x^{3}(x^{2}-6x+9)} \leq 0 $$ $$ \frac{x(x-4)(x+3)}{x^{3}(x-3)^{2}} \leq 0 $$

Сократим на x:

$$ \frac{(x-4)(x+3)}{x^{2}(x-3)^{2}} \leq 0 $$

Знаменатель всегда положительный, за исключением точек, где он равен нулю, поэтому он не влияет на знак неравенства (но эти точки нужно исключить):

Найдем нули числителя:

$$ x-4=0 \Rightarrow x=4 $$ $$ x+3=0 \Rightarrow x=-3 $$

Найдем нули знаменателя:

$$ x^{2}=0 \Rightarrow x=0 $$ $$ (x-3)^{2}=0 \Rightarrow x=3 $$

Отметим точки -3, 0, 3, 4 на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

      +        -        +        +        +
<--(-3)----(0)----(3)----(4)---->

Так как неравенство нестрогое, то точки, где числитель равен нулю, входят в решение. Точки, где знаменатель равен нулю, исключаем.

Решением являются интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю:

$$ x \in [-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 4] $$

Ответ: $$x \in [-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 4]$$