x^2+7x+26 \geq \frac{224}{x^2-4x+10}

Для решения неравенства $$x^2+7x+26 \geq \frac{224}{x^2-4x+10}$$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перенести все члены неравенства в одну сторону:

   $$x^2+7x+26 - \frac{224}{x^2-4x+10} \geq 0$$

2. Привести к общему знаменателю:

   $$\frac{(x^2+7x+26)(x^2-4x+10) - 224}{x^2-4x+10} \geq 0$$

3. Раскрыть скобки в числителе:

   $$\frac{x^4 -4x^3+10x^2 +7x^3 -28x^2 +70x +26x^2 -104x +260 - 224}{x^2-4x+10} \geq 0$$

4. Упростить числитель:

   $$\frac{x^4 + 3x^3 + 8x^2 - 34x + 36}{x^2-4x+10} \geq 0$$

5. Разложить числитель на множители:

   Заметим, что выражение можно упростить, если разложить числитель на множители. Здесь может потребоваться метод подбора корней или другие методы разложения многочленов.

   Предположим, что числитель можно разложить на множители как $$(x-a)(x-b)(x^2+cx+d)$$

   При этом если подобрать корни, то можно упростить уравнение. В данном случае можно заметить, что x = 1 и x = 2 являются корнями числителя:

   $$(x-1)(x-2)(x^2+6x+18) = x^4 + 3x^3 + 8x^2 - 34x + 36$$

6. Записать неравенство в виде:

   $$\frac{(x-1)(x-2)(x^2+6x+18)}{x^2-4x+10} \geq 0$$

7. Определить знаки множителей:

   • Выражение $$x^2+6x+18$$ всегда положительно, так как его дискриминант $$D = 6^2 - 4 \cdot 18 = 36 - 72 = -36 < 0$$.

   • Выражение $$x^2-4x+10$$ всегда положительно, так как его дискриминант $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 10 = 16 - 40 = -24 < 0$$.

8. Определить знаки (x-1) и (x-2):

   Неравенство $$\frac{(x-1)(x-2)(x^2+6x+18)}{x^2-4x+10} \geq 0$$ сводится к $$(x-1)(x-2) \geq 0$$

9. Решить неравенство методом интервалов:

   • Корни: x = 1, x = 2

   • Интервалы: $$(-\infty; 1], [1; 2], [2; +\infty)$$.

   • Определить знаки на каждом интервале:

     • На интервале $$(-\infty; 1)$$ оба множителя отрицательны, следовательно, произведение положительно.

     • На интервале $$(1; 2)$$ первый множитель положителен, второй отрицателен, следовательно, произведение отрицательно.

     • На интервале $$(2; +\infty)$$ оба множителя положительны, следовательно, произведение положительно.

Ответ: $$x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$$.