Высоты \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите \(\angle AMB\), если \(\angle A = 55^{\circ}\), \(\angle B = 67^{\circ}\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. Тогда угол \(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 67^{\circ} = 58^{\circ}\).
3. Высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M. Рассмотрим четырёхугольник MA₁CB₁. В нём \(\angle A_1 = \angle B_1 = 90^{\circ}\) (так как AA₁ и BB₁ – высоты).
4. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°, следовательно, \(\angle AMB = 360^{\circ} - \angle A_1 - \angle B_1 - \angle C = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}\).

Ответ: \(\angle AMB = 122^{\circ}\).