В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине A равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите AC и AB.

Решение:

1. Внешний угол при вершине A равен 120°, следовательно, внутренний угол \(\angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
2. Так как угол C прямой (90°), то угол \(\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).
3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть \(AC = \frac{1}{2}AB\).
4. По условию, \(AC + AB = 18\) см. Подставим выражение для AC: \(\frac{1}{2}AB + AB = 18\).
5. Решим уравнение: \(\frac{3}{2}AB = 18\). Умножим обе части на 2: \(3AB = 36\). Разделим обе части на 3: \(AB = 12\) см.
6. Найдем AC: \(AC = 18 - AB = 18 - 12 = 6\) см.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.