В треугольниках ABC и $A_1B_1C_1$ углы A и $A_1$ – прямые, BD и $B_1D_1$ — биссектрисы. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $\angle B = \angle B_1$ и BD = $B_1D_1$.

Question

$Фото задания: В треугольниках ABC и $A_1B_1C_1$ углы A и $A_1$ – прямые, BD и $B_1D_1$ — биссектрисы. Докажите, что \(\triangle ABC =…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как углы A и $A_1$ прямые, треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ – прямоугольные.
BD и $B_1D_1$ – биссектрисы, значит, $\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B$ и $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2} \angle B_1$.
По условию $\angle B = \angle B_1$, следовательно, $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.
Рассмотрим треугольники ABD и $A_1B_1D_1$. У них BD = $B_1D_1$ (по условию), $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ и $\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}$.
Следовательно, треугольники ABD и $A_1B_1D_1$ равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует, что AB = $A_1B_1$.
Рассмотрим треугольники ABC и $A_1B_1C_1$. У них AB = $A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}$ и $\angle B = \angle B_1$.
Следовательно, треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Теорема доказана.

В треугольниках ABC и \(A_1B_1C_1\) углы A и \(A_1\) – прямые, BD и \(B_1D_1\) — биссектрисы. Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), если \(\angle B = \angle B_1\) и BD = \(B_1D_1\).