Из середины D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой AC. Найдите AM, если AB = 12 см.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
2. DM – перпендикуляр к AC, значит, \(\angle DMC = 90^{\circ}\).
3. Так как D – середина BC, то BD = DC = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см.
4. В прямоугольном треугольнике DMC угол \(\angle C = 60^{\circ}\), значит, \(\angle DMC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).
5. Катет DM, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы DC, то есть \(DM = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\) см.
6. Рассмотрим треугольник ADM. В нем \(\angle DAM = 30^{\circ}\) (так как \(\angle A = 60^{\circ}\) в равностороннем треугольнике, а DM – перпендикуляр к AC).
7. Треугольник ADM – прямоугольный (так как DM – перпендикуляр к AC), и \(\angle ADM = 90^{\circ}\).
8. В прямоугольном треугольнике ADM катет AM прилежит к углу 30°, значит, \(AM = AD \cdot cos(30^{\circ})\).
9. Но AD – высота равностороннего треугольника, проведенная к стороне BC, то есть \(AD = \frac{\sqrt{3}}{2} AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3}\) см.
10. Следовательно, \(AM = 6\sqrt{3} \cdot cos(30^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\) см.

Ответ: AM = 9 см.