Вариант Б2. 2. К окружности с центром в точке О и радиусом 5 см из точки А проведены две касательные АВ и АС (В и С — точки касания). Найдите ∠BAC, если АВ = 5/3 см.

Решение:

Так как АВ и АС — касательные к окружности, проведенные из точки А, то треугольник АОВ является прямоугольным (угол ОВА = 90°), и АВ = АС. Также отрезок АО является биссектрисой угла BAC.

В прямоугольном треугольнике АОВ:

Найдем \( \tan(\angle BAO) \):

\[ \tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB} \]\[ \tan(\angle BAO) = \frac{5}{\frac{5}{3}} \]\[ \tan(\angle BAO) = 5 \cdot \frac{3}{5} \]\[ \tan(\angle BAO) = 3 \]

Угол \( \angle BAO = \arctan(3) \).

Угол между касательными \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAO \).

\[ \angle BAC = 2 \arctan(3) \]

Ответ: \( 2 \arctan(3) \).