В2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 cosx, x=0, x=π, y=0

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = 2 \cos x \), осью Ox \( (y=0) \) и прямыми \( x=0 \) и \( x=\pi \), вычисляется с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{0}^{\pi} |2 \cos x| dx \]

На интервале \( [0, \frac{\pi}{2}] \) функция \( \cos x \) неотрицательна, а на интервале \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \) — неположительна.

Поэтому интеграл нужно разбить на два:

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-2 \cos x) dx \]

Найдем первообразную для \( 2 \cos x \), которая равна \( 2 \sin x \).

Вычислим первый интеграл:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos x dx = [2 \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(0) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 2 \]

Вычислим второй интеграл:

\[ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-2 \cos x) dx = [-2 \sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-2 \sin(\pi)) - (-2 \sin(\frac{\pi}{2})) = (-2 \cdot 0) - (-2 \cdot 1) = 0 - (-2) = 2 \]

Сложим результаты:

\[ S = 2 + 2 = 4 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.