А8. Решите задачу: Образующая конуса равна 6 см и она образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения.

Решение:

Обозначим образующую конуса как \( l \), высоту как \( h \), радиус основания как \( r \). Угол между образующей и плоскостью основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

По условию \( l = 6 \) см.

1. Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Высота конуса \( h \) является катетом прямоугольного треугольника, образованного образующей \( l \) (гипотенуза), радиусом основания \( r \) (другой катет) и высотой \( h \). Угол между образующей и плоскостью основания — это угол \( \alpha \) в этом прямоугольном треугольнике.
2. Найдем высоту конуса: \( \sin \alpha = \frac{h}{l} \)
\[ h = l \cdot \sin \alpha = 6 \text{ см} \cdot \sin 45^{\circ} = 6 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

3. Найдем радиус основания: \( \cos \alpha = \frac{r}{l} \)
\[ r = l \cdot \cos \alpha = 6 \text{ см} \cdot \cos 45^{\circ} = 6 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

4. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием \( 2r \) и высотой \( h \). Площадь осевого сечения \( S_{ос} \) равна:
\[ S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h \]

5. Подставим найденные значения \( r \) и \( h \):
\[ S_{ос} = (3\sqrt{2} \text{ см}) \cdot (3\sqrt{2} \text{ см}) = 9 \cdot 2 \text{ см}^2 = 18 \text{ см}^2 \]

Ответ: Высота конуса \( h = 3\sqrt{2} \) см, площадь осевого сечения \( S_{ос} = 18 \) см².