А2. Вычислите интеграл \( \int_{-1}^{2} (1-3x^2)dx \)

Решение:

1. Найдем первообразную для функции \( 1-3x^2 \). Первообразная от \( 1 \) равна \( x \), а первообразная от \( -3x^2 \) равна \( -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 \).
2. Таким образом, первообразная \( F(x) = x - x^3 \).
3. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \).
4. \( F(2) = 2 - 2^3 = 2 - 8 = -6 \)
5. \( F(-1) = -1 - (-1)^3 = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 \)
6. \( \int_{-1}^{2} (1-3x^2)dx = F(2) - F(-1) = -6 - 0 = -6 \)

Ответ: -6