В треугольнике АВС дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, BC = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причём СК = 12 см. Найдите КМ.

Решение:

1. Найдем длину медианы CM. В прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]

Длина медианы CM:

\[ CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ см} \]

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CKM. СК перпендикулярна плоскости ABC, значит, СК перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через C, в том числе и CM.

По теореме Пифагора в треугольнике CKM:

\[ KM^2 = CK^2 + CM^2 \]

\[ KM^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \]

\[ KM = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Ответ: 13 см