Решите уравнение: С³ˣ⁺¹ = 120.

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения необходимо привести обе части к одному основанию или использовать логарифмирование.

Уравнение: \( 3^{3x+1} = 120 \)

Применим логарифмирование по основанию 3:

\[ \log_3(3^{3x+1}) = \log_3(120) \]

\[ 3x+1 = \log_3(120) \]

Теперь выразим \( 3x \):

\[ 3x = \log_3(120) - 1 \]

Чтобы упростить \( \log_3(120) \), разложим 120 на множители: \( 120 = 3 \cdot 40 = 3 \cdot 8 \cdot 5 = 3 \cdot 2^3 \cdot 5 \).

\[ \log_3(120) = \log_3(3 \cdot 40) = \log_3(3) + \log_3(40) = 1 + \log_3(40) \]

Подставим это обратно в уравнение для \( 3x \):

\[ 3x = (1 + \log_3(40)) - 1 \]

\[ 3x = \log_3(40) \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x = \frac{\log_3(40)}{3} \]

Можно также выразить \( x \) через натуральные или десятичные логарифмы, используя формулу смены основания:

\[ x = \frac{1}{3} \frac{\ln(40)}{\ln(3)} \]

или

\[ x = \frac{1}{3} \frac{\log(40)}{\log(3)} \]

Ответ: \( x = \frac{\log_3(40)}{3} \) (или \( x = \frac{1}{3} \log_3(40) \))