Исследуйте функцию на монотонность и выпуклость: f(x) = (х+1)⁴.

Решение:

1. Монотонность:

Найдем первую производную: \( f'(x) = 4(x+1)^3 \).

Приравняем производную к нулю: \( 4(x+1)^3 = 0 \) => \( x = -1 \).

Определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -1 \), \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• При \( x > -1 \), \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.

2. Выпуклость:

Найдем вторую производную: \( f''(x) = 12(x+1)^2 \).

Приравняем вторую производную к нулю: \( 12(x+1)^2 = 0 \) => \( x = -1 \).

Определим знаки второй производной на интервалах:

• При \( x < -1 \), \( f''(x) > 0 \) — функция выпукла вверх (вогнута).
• При \( x > -1 \), \( f''(x) > 0 \) — функция выпукла вверх (вогнута).

Вывод:

Функция убывает на \( (-\infty, -1] \) и возрастает на \( [-1, +\infty) \).

Функция выпукла вверх (вогнута) на \( (-\infty, +\infty) \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty, -1] \), возрастает на \( [-1, +\infty) \). Функция выпукла вверх на \( (-\infty, +\infty) \).