Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 1, а угол A = 120°.

Найдем угол при основании:

\[ \angle B = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \]

Для нахождения диаметра описанной окружности используем теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

где R — радиус описанной окружности, а a, b, c — стороны треугольника, противолежащие углам A, B, C соответственно.

Нам нужно найти сторону BC (обозначим ее как 'a'). Используем теорему косинусов:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

\[ a^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos 120° \]

\[ a^2 = 1 + 1 - 2(-\frac{1}{2}) \]

\[ a^2 = 2 + 1 = 3 \]

\[ a = \sqrt{3} \]

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\[ 2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 120°} \]

\[ 2R = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \]

Диаметр описанной окружности равен \( 2R \).

Ответ: 2