Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f(x): a = 1, b = 8, f(x) = √x.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( f(x) = \sqrt{x} \).

Подставим значения в формулу:

\[ S = \int_{1}^{8} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{8} x^{1/2} dx \]

Проинтегрируем функцию:

\[ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{8} = \frac{2}{3} (8^{3/2}) - \frac{2}{3} (1^{3/2}) \]

Вычислим \( 8^{3/2} \): \( 8^{3/2} = (\sqrt{8})^3 = (2\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \).

\[ S = \frac{2}{3} (16\sqrt{2}) - \frac{2}{3} (1) = \frac{32\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{32\sqrt{2} - 2}{3} \]

Ответ: \( \frac{32\sqrt{2} - 2}{3} \)