2 В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А₁ — прямые, BD и В1D1 – биссектрисы. Докажите, что ∆АВС = ∆A₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

Рассмотрим треугольники BDA и B₁D₁A₁.

В них BD = B₁D₁ (по условию), угол BDA = углу B₁D₁A₁ = 90°, углы DBA = DB₁A₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, а углы B = B₁).

Следовательно, треугольники BDA и B₁D₁A₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что BA = B₁A₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

В них BA = B₁A₁, угол A = углу A₁ = 90°, угол B = углу B₁ (по условию).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.