В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, $$h$$ - высота трапеции.

В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 45°. Следовательно, другой угол равен 45°, а значит, треугольник равнобедренный, и высота равна половине разности оснований: $$h = \frac{b - a}{2}$$.

1. Найдем высоту трапеции: $$h = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$.
2. Найдем площадь трапеции: $$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$$.

Ответ: 12.