120 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АAC проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены со- ответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажите, что: a) ABDE = ABDF; б) △ADE = ACDF.

Для решения данной задачи необходимо:

1. Доказать, что ΔBDE = ΔBDF.
2. Доказать, что ΔADE = ΔCDF.

a) Докажем, что ΔBDE = ΔBDF.

Так как ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA. BD - медиана, проведенная к основанию AC, следовательно, AD = CD и BD является высотой и биссектрисой. Значит, ∠ADB = ∠CDB = 90° и ∠ABD = ∠CBD.

Рассмотрим треугольники ADE и CDF. Так как AE = CF (по условию), AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника) и AE = CF, то BE = AB - AE = BC - CF = BF.

Рассмотрим треугольники BDE и BDF. У них:

• BD - общая сторона
• ∠EBD = ∠FBD (так как BD - биссектриса)
• BE = BF (доказано выше)

Следовательно, треугольники BDE и BDF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Докажем, что ΔADE = ΔCDF.

Рассмотрим треугольники ADE и CDF. У них:

• AD = CD (так как BD - медиана)
• ∠ADE = ∠CDF (так как ∠ADB = ∠CDB = 90° и ∠BDE = ∠BDF)
• DE = DF (так как ΔBDE = ΔBDF)

Следовательно, треугольники ADE и CDF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: а) доказано, что ΔBDE = ΔBDF; б) доказано, что ΔADE = ΔCDF.