Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника ABC и A1B1C1, в которых AB = A1B1, BC = B1C1 и AC = A1C1. Пусть AM и A1M1 – медианы, проведенные к равным сторонам BC и B1C1 соответственно. Требуется доказать, что AM = A1M1.

Доказательство:

Так как AM и A1M1 - медианы, то BM = MC = B1M1 = M1C1 = BC/2 = B1C1/2.

Рассмотрим треугольники ABM и A1B1M1: AB = A1B1 (по условию), BM = B1M1 (как половины равных сторон), ∠B = ∠B1 (так как треугольники ABC и A1B1C1 равны). Следовательно, треугольники ABM и A1B1M1 равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников ABM и A1B1M1 следует, что AM = A1M1, что и требовалось доказать.