113 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой в. Перпендикуляры М№ и PQ, проведённые к прямой в, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите NOM, если ∠MOP = 105°.

Чтобы решить задачу 113, нам понадобятся знания геометрии, в частности, свойства перпендикуляров и углов.

а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM:

Дано: MN и PQ — перпендикуляры к прямой b, MN = PQ, точка O — середина NQ.

Доказать: ∠OMP = ∠OPM.

Рассмотрим треугольники MNO и PQO. У них:

• MN = PQ (по условию)
• ∠MNO = ∠PQO = 90° (так как MN и PQ — перпендикуляры к прямой b)
• NO = QO (так как O — середина NQ)

Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что MO = PO. Значит, треугольник MOP — равнобедренный, так как две его стороны равны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠OMP = ∠OPM.

б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

Так как треугольники MNO и PQO равны, то ∠NOM = ∠QOP.

Рассмотрим треугольник MOP. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠OMP + ∠OPM + ∠MOP = 180°.

Так как ∠OMP = ∠OPM, то 2∠OMP + ∠MOP = 180°.

2∠OMP = 180° - ∠MOP = 180° - 105° = 75°.

∠OMP = 75° / 2 = 37.5°.

Теперь рассмотрим треугольник MNO. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠MNO + ∠NOM + ∠OMN = 180°.

90° + ∠NOM + 37.5° = 180°.

∠NOM = 180° - 90° - 37.5° = 52.5°.

Ответ: б) ∠NOM = 52.5°.