8. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена биссектриса АР. Найдите угол АВС, если угол АРВ равен 105°.

По условию, треугольник ABC - прямоугольный, AP - биссектриса угла A, и угол APB = 105°.

Рассмотрим треугольник APB:

• Угол APB = 105°.
• Угол BAP = 180° - (90° + 105°) = 180° - 195° = 180°-105° - угол B=75°-угол В (т.к. угол А=90-угол В)
• угол APB = 105°=угол В+1/2угол А = угол В+45°-1/2уголВ
• 60°=1/2 угла В
• угол В=120° - невозможно т.к. всего 180° в треугольнике

Теперь рассмотрим треугольник ABC:

• Угол A = 2 * 15° = 30°.
• Угол C = 90°.
• Угол ABC = 180° - (30° + 90°) = 60°.

Ответ: 60°

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма углов в треугольниках APB и ABC равна 180°.

Доп. профит: Читерский прием: В прямоугольном треугольнике всегда помни, что один угол 90°!