В 3. (2 балла) Решите неравенство 1/(5x) ≥ 0,04.

Решение:

Дано неравенство: \( \frac{1}{5x} \ge 0.04 \)

Сначала запишем \( 0.04 \) в виде обыкновенной дроби:

\( 0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} \)

Неравенство примет вид:

\( \frac{1}{5x} \ge \frac{1}{25} \)

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

\( \frac{1}{5x} - \frac{1}{25} \ge 0 \)

Приведем дроби к общему знаменателю ( \( 25x \) ):

\( \frac{25}{25x} - \frac{5x}{25x} \ge 0 \)

\( \frac{25 - 5x}{25x} \ge 0 \)

Для решения рационального неравенства найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( 25 - 5x = 0 \) → \( 5x = 25 \) → \( x = 5 \).

Знаменатель: \( 25x = 0 \) → \( x = 0 \).

Число 0 является граничной точкой, но не входит в ОДЗ, так как на ноль делить нельзя. Число 5 входит в решение, так как неравенство нестрогое ( \( \ge \) ).

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражений в промежутках.

Возьмем пробные значения:

• При \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \( \frac{25 - 5(6)}{25(6)} = \frac{25-30}{150} = \frac{-5}{150} < 0 \)


• При \( 0 < x < 5 \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{25 - 5(1)}{25(1)} = \frac{20}{25} > 0 \)


• При \( x < 0 \) (например, \( x=-1 \)): \( \frac{25 - 5(-1)}{25(-1)} = \frac{25+5}{-25} = \frac{30}{-25} < 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было \( \ge 0 \). Это соответствует промежутку \( (0; 5] \).

Ответ: (0; 5].