А14. (1 балл) Найдите корень уравнения х = (8x+36)/(x+13)

Решение:

Дано уравнение: \( x = \frac{8x+36}{x+13} \)

Для начала определим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

\( x+13 \neq 0 \)

\( x \neq -13 \)

Теперь умножим обе части уравнения на \( (x+13) \) чтобы избавиться от знаменателя:

\( x(x+13) = 8x+36 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + 13x = 8x+36 \)

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 13x - 8x - 36 = 0 \)

\( x^2 + 5x - 36 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)

Проверим, не нарушают ли найденные корни ОДЗ ( \( x \neq -13 \)). Оба корня \( 4 \) и \( -9 \) не равны \( -13 \).

Ответ: 4, -9.