С 1. (3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

При вращении равнобочной трапеции около меньшего основания ( \( b = 10 \text{ см} \) ) образуется тело, состоящее из цилиндра и двух конусов, усеченных по образующей.

Большее основание \( a = 18 \text{ см} \).

Высота трапеции \( h = 3 \text{ см} \).

Тело вращения состоит из:

1. Цилиндр, высота которого равна меньшему основанию трапеции: \( H_{цилиндра} = 10 \text{ см} \). Радиус основания цилиндра равен высоте трапеции: \( r = 3 \text{ см} \).


2. Два одинаковых конуса, у которых радиус основания равен высоте трапеции: \( r = 3 \text{ см} \).

Найдем образующую \( l \) для конусов. Для этого нужно знать длину боковой стороны трапеции.

Разность оснований: \( a - b = 18 - 10 = 8 \text{ см} \).

Так как трапеция равнобочная, эту разность можно разделить на 2, чтобы найти проекцию боковой стороны на большее основание: \( \frac{8}{2} = 4 \text{ см} \).

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения боковой стороны (образующей конуса):

\( l^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)

\( l = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \)

Теперь рассчитаем площади поверхностей:

1. Площадь боковой поверхности цилиндра:

\( S_{боковая.цилиндра} = 2 \pi r H_{цилиндра} = 2 \pi \times 3 \times 10 = 60\pi \text{ см}^2 \)

2. Площадь боковой поверхности одного конуса:

\( S_{боковая.конуса} = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \text{ см}^2 \)

Так как у нас два таких конуса, их суммарная площадь боковой поверхности:

\( 2 \times S_{боковая.конуса} = 2 \times 15\pi = 30\pi \text{ см}^2 \)

Полная площадь поверхности тела вращения — это сумма площадей боковой поверхности цилиндра и двух конусов:

\( S_{полная} = S_{боковая.цилиндра} + 2 \times S_{боковая.конуса} \)

\( S_{полная} = 60\pi + 30\pi = 90\pi \text{ см}^2 \)

Ответ: \( 90\pi \text{ см}^2 \).