5. Упростите выражение: 1) a) \(\sqrt[3]{\frac{x^{6}y^{12}}{m^{8}}}\), где \(x \le 0\);

1) а) Упростим выражение \(\sqrt[3]{\frac{x^{6}y^{12}}{m^{8}}}\), где \(x \le 0\).

Воспользуемся свойством корня: корень из дроби равен дроби из корней.

\(\sqrt[3]{\frac{x^{6}y^{12}}{m^{8}}} = \frac{\sqrt[3]{x^{6}y^{12}}}{\sqrt[3]{m^{8}}}\)

Извлечём корни. По свойству степени при возведении степени в степень показатели перемножаются. Значит, при извлечении корня показатель степени подкоренного выражения делится на показатель корня.

\(\frac{\sqrt[3]{x^{6}y^{12}}}{\sqrt[3]{m^{8}}} = \frac{x^{6:3}y^{12:3}}{m^{8:3}} = \frac{x^{2}y^{4}}{m^{2\frac{2}{3}}} = \frac{x^{2}y^{4}}{m^{2}\sqrt[3]{m^{2}}}}\)

Условие \(x \le 0\) говорит о том, что x - отрицательное число, но в ответе х во второй степени, значит, выражение положительное.

Ответ: \(\frac{x^{2}y^{4}}{m^{2}\sqrt[3]{m^{2}}}\)