583. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 3, 5, 7, ..., сумма которых не превосходит 120.

Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$, где $$a_1$$ - первый член, $$d$$ - разность арифметической прогрессии, $$n$$ - количество членов.

В нашем случае, $$a_1 = 3$$, $$d = 5 - 3 = 2$$. Подставим известные значения в формулу:

$$S_n = \frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n = \frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{4 + 2n}{2} \cdot n = (2 + n)n = n^2 + 2n$$

Нам нужно найти наибольшее целое $$n$$, при котором $$S_n \le 120$$. Решим неравенство:

$$n^2 + 2n \le 120$$

$$n^2 + 2n - 120 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$n^2 + 2n - 120 = 0$$:

$$n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2}$$ $$n_1 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ $$n_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Так как $$n$$ должно быть положительным, берем корень $$n = 10$$. Неравенство выполняется при $$n \in [-12; 10]$$. Поскольку количество членов должно быть натуральным числом, наибольшее возможное значение $$n = 10$$.

Проверим:

$$S_{10} = 10^2 + 2 \cdot 10 = 100 + 20 = 120$$

Если возьмем $$n = 11$$, то $$S_{11} = 11^2 + 2 \cdot 11 = 121 + 22 = 143 > 120$$.

Следовательно, наибольшее число членов арифметической прогрессии равно 10.

Ответ: 10