588. Покажите штриховкой множество точек, которое задаёт на ко- ординатной плоскости система неравенств $$y≥ x^2,$$ $$2y + x ≤5.$$

Неравенство $$y \ge x^2$$ задает область выше параболы $$y = x^2$$, включая саму параболу.

Неравенство $$2y + x \le 5$$ задает область ниже прямой $$2y + x = 5$$, включая саму прямую.

Преобразуем уравнение прямой к виду $$y = \frac{5-x}{2} = 2.5 - \frac{x}{2}$$.

Чтобы показать штриховкой множество точек, можно схематично нарисовать параболу и прямую, а затем заштриховать область, удовлетворяющую обоим неравенствам.

      ^
      |
      |    /\     Прямая: 2y + x ≤ 5
      |   /  \    Парабола: y ≥ x²
------|------->
      |  /    \
      | /
      |

Точки пересечения:

$$y=x^2$$

$$2y+x=5$$

$$2x^2+x=5$$

$$2x^2+x-5=0$$

$$D=1+4*2*5=41$$

$$x=\frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$$

$$x_1=\frac{-1 + \sqrt{41}}{4} \approx 1.35$$

$$x_2=\frac{-1 - \sqrt{41}}{4} \approx -1.85$$

Ответ: Область находится между параболой и прямой.