587. Решите систему уравнений: 3x² - 2y² = 25, г) x² - y² + y = 5.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 + y = 5 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2:

$$2x^2 - 2y^2 + 2y = 10$$

Выразим $$2y^2$$ из этого уравнения: $$2y^2 = 2x^2 + 2y - 10$$.

Подставим в первое уравнение:

$$3x^2 - (2x^2 + 2y - 10) = 25$$

$$3x^2 - 2x^2 - 2y + 10 = 25$$

$$x^2 - 2y = 15$$

$$x^2 = 2y + 15$$

Подставим это в исходное второе уравнение:

$$2y + 15 - y^2 + y = 5$$

$$-y^2 + 3y + 10 = 0$$

$$y^2 - 3y - 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$$

$$y_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

$$y_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2$$

Тогда:

Если $$y = 5$$, то $$x^2 = 2(5) + 15 = 10 + 15 = 25$$, $$x = \pm 5$$

Если $$y = -2$$, то $$x^2 = 2(-2) + 15 = -4 + 15 = 11$$, $$x = \pm \sqrt{11}$$

Проверим:

1) $$x = 5, y = 5: 3(25) - 2(25) = 25, 25 - 25 + 5 = 5$$

2) $$x = -5, y = 5: 3(25) - 2(25) = 25, 25 - 25 + 5 = 5$$

3) $$x = \sqrt{11}, y = -2: 3(11) - 2(4) = 33 - 8 = 25, 11 - 4 - 2 = 5 \text{ ОШИБКА!}\quad x^2 - y^2 + y = 11 - 4 + (-2) = 5$$

4) $$x = -\sqrt{11}, y = -2: 3(11) - 2(4) = 33 - 8 = 25, 11 - 4 - 2 = 5 \text{ ОШИБКА!} \quad x^2 - y^2 + y = 11 - 4 + (-2) = 5$$

Ответ: (5, 5), (-5, 5), ($$\sqrt{11}$$, -2), (-$$\sqrt{11}$$, -2)