584. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, ..., при сложении которых получается положительное число.

Рассмотрим арифметическую прогрессию 17, 14, 11, ...

Первый член: $$a_1 = 17$$.

Разность: $$d = 14 - 17 = -3$$.

Сумма $$n$$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$.

Нам нужно найти наибольшее $$n$$, при котором $$S_n > 0$$.

$$S_n = \frac{n}{2} (2(17) + (n-1)(-3)) = \frac{n}{2} (34 - 3n + 3) = \frac{n}{2} (37 - 3n)$$.

$$S_n > 0$$ если $$\frac{n}{2} (37 - 3n) > 0$$. Так как $$n > 0$$, то нужно решить неравенство: $$37 - 3n > 0$$.

$$37 > 3n$$

$$n < \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3}$$.

Так как $$n$$ должно быть целым числом, наибольшее значение $$n = 12$$.

Проверим:

$$S_{12} = \frac{12}{2}(37 - 3(12)) = 6(37 - 36) = 6(1) = 6 > 0$$.

$$S_{13} = \frac{13}{2}(37 - 3(13)) = \frac{13}{2}(37 - 39) = \frac{13}{2}(-2) = -13 < 0$$.

Следовательно, наибольшее число членов арифметической прогрессии равно 12.

Ответ: 12