15. tg (\frac{t}{2} - \frac{π}{2}) = -√3

Ответ: t = -π/3 + 2πn, n ∈ Z

Уравнение tg(t/2 - π/2) = -√3 выполняется, когда аргумент тангенса равен -π/3 + πn, где n - любое целое число.

То есть, t/2 - π/2 = -π/3 + πn.

Решаем относительно t: t/2 = -π/3 + π/2 + πn = π/6 + πn.

Умножаем обе части на 2: t = π/3 + 2πn.

Однако, нужно учесть, что тангенс имеет период π, а не 2π. Значит, нам нужно найти все решения на периоде 2π. В данном случае, -√3 соответствует углу -π/3.

Тогда t/2 - π/2 = -π/3 + πn, где n - целое число.

t/2 = -π/3 + π/2 + πn = π/6 + πn.

t = π/3 + 2πn.

Однако, учитывая, что тангенс имеет период π, а не 2π, нам нужно рассмотреть оба возможных угла в пределах периода 2π, где тангенс равен -√3. Первый угол равен -π/3, а второй -π/3 + π = 2π/3.

Если t/2 - π/2 = -π/3 + πn, то t = 2(-π/3 + π/2 + πn) = 2(π/6 + πn) = π/3 + 2πn.

Если t/2 - π/2 = 2π/3 + πn, то t = 2(2π/3 + π/2 + πn) = 2(7π/6 + πn) = 7π/3 + 2πn. Однако 7π/3 эквивалентно π/3 + 2π, поэтому это решение можно опустить.

Следовательно, t = -π/3 + 2πn

Ответ: t = -π/3 + 2πn, n ∈ Z