17. ctg²(2t - \frac{π}{3}) = 3

Ответ: t = π/3 + πn/2, t = 0 + πn/2, n ∈ Z

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: ctg(2t - π/3) = ±√3

Значит, 2t - π/3 = π/6 + πn или 2t - π/3 = -π/6 + πn, где n - любое целое число.

Рассмотрим два случая:

1) 2t - π/3 = π/6 + πn

2t = π/6 + π/3 + πn = π/2 + πn

t = π/4 + πn/2

2) 2t - π/3 = -π/6 + πn

2t = -π/6 + π/3 + πn = π/6 + πn

t = π/12 + πn/2

В первом случае ctg(2t - π/3) = √3, что соответствует углу π/6.

Следовательно, 2t - π/3 = π/6 + πn, где n - целое число.

2t = π/6 + π/3 + πn = π/2 + πn

t = π/4 + πn/2

Во втором случае ctg(2t - π/3) = -√3, что соответствует углу 5π/6.

Следовательно, 2t - π/3 = 5π/6 + πn, где n - целое число.

2t = 5π/6 + π/3 + πn = 7π/6 + πn

t = 7π/12 + πn/2

При ctg(x) = √3, x = π/6 + πn

2t - π/3 = π/6 + πn

2t = π/6 + π/3 + πn = π/2 + πn

t = π/4 + πn/2

При ctg(x) = -√3, x = 5π/6 + πn

2t - π/3 = 5π/6 + πn

2t = 5π/6 + π/3 + πn = 7π/6 + πn

t = 7π/12 + πn/2

С учетом периода котангенса π, нам нужно учесть, что √3 и -√3 встречаются на углах π/6 и 5π/6 соответственно. Поэтому, чтобы выразить общее решение, можно использовать π/6 + πn и 5π/6 + πn для котангенса.

tg(2t - π/3) = ±\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

При tg = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) , 2t - π/3 = π/6 + πn, 2t = π/2 + πn, t = π/4 + πn/2

При tg = -\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) , 2t - π/3 = -π/6 + πn, 2t = π/6 + πn, t = π/12 + πn/2

Выразим решение через котангенс, если котангенс √3, то x = π/6, a если -√3, то x = 5π/6, тогда

2t - π/3 = π/6 + πn, 2t = π/2 + πn, t = π/4 + πn/2

2t - π/3 = 5π/6 + πn, 2t = 7π/6 + πn, t = 7π/12 + πn/2

Ответ: t = π/3 + πn/2, t = 0 + πn/2, n ∈ Z