3. Рис. 604. Дано: $$ME = b$$, $$ΔMPE = β$$. Найти: MP и PA.

В равнобедренном треугольнике $$MPE$$, $$MP = PE$$. $$ΔMPE = β$$, значит, $$ΔPME = β$$. Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, следовательно, $$∠MPE = 180^\circ - 2β$$. $$PA$$ – высота и медиана, следовательно, $$AE = \frac{1}{2} ME = \frac{b}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$ΔAPE$$: $$\tan(β) = \frac{AE}{PA}$$, следовательно, $$PA = \frac{AE}{\tan(β)} = \frac{b}{2\tan(β)}$$. $$\sin(β) = \frac{AE}{PE}$$, следовательно, $$PE = \frac{AE}{\sin(β)} = \frac{b}{2\sin(β)}$$. Так как $$MP = PE$$, то $$MP = \frac{b}{2\sin(β)}$$. Ответ: $$MP = \frac{b}{2\sin(β)}$$, $$PA = \frac{b}{2\tan(β)}$$.