6. Рис. 607. Дано: $$∠(AC, BD) = 60^\circ$$. Найти: $$AB, AD, S_{ABCD}$$.

Пусть $$O$$ – точка пересечения диагоналей. Тогда $$ΔAOB$$ – равнобедренный, так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. $$∠AOB = 60^\circ$$, значит, $$ΔAOB$$ – равносторонний, и $$AB = AO = BO = 5$$. $$BD = 2BO = 2 \cdot 5 = 10$$. В прямоугольном треугольнике $$ΔABD$$: По теореме Пифагора: $$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$. $$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$$. Ответ: $$AB = 5$$, $$AD = 5\sqrt{3}$$, $$S_{ABCD} = 25\sqrt{3}$$.