4. Рис. 605. Дано: BF – биссектриса. Найти: BF.

В прямоугольном треугольнике $$ΔABF$$ угол $$∠ABF = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ (так как $$BF$$ – биссектриса). Катет, лежащий против угла в $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, следовательно, $$AF = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$$. По теореме Пифагора: $$BF = \sqrt{AB^2 - AF^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Ответ: $$BF = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$.