Решите уравнение \(\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0\)

Решение:

Сумма двух квадратных корней может быть равна нулю только в том случае, если оба корня одновременно равны нулю. Это связано с тем, что значения квадратных корней всегда неотрицательны (\(\ge 0\)).

Следовательно, нам нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + 2x = 0 \\ x^2 - 4 = 0 \end{cases} \]

1. Решим первое уравнение:
   \[ x^2 + 2x = 0 \]\[ x(x + 2) = 0 \] Это уравнение имеет два корня: \(x = 0\) или \(x + 2 = 0 → x = -2\).
2. Решим второе уравнение:
   \[ x^2 - 4 = 0 \]\[ x^2 = 4 \] Это уравнение имеет два корня: \(x = 2\) или \(x = -2\).
3. Найдем общее решение:
   Чтобы оба уравнения выполнялись одновременно, нужно найти корни, которые присутствуют в решениях обоих уравнений. Единственный общий корень — это \(x = -2\).

Проверка:
Если \(x = -2\):
\(\sqrt{(-2)^2 + 2(-2)} + \sqrt{(-2)^2 - 4} = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0\).
Условие выполняется.

Ответ: \(x = -2\).