10. Решите уравнение logₓ 4¹⁶<2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

logₓ 4¹⁶ < 2

logₓ 2³² < 2

ОДЗ: x > 0, x ≠ 1

Рассмотрим два случая:

1) 0 < x < 1

2³² > x²

x² < 2³²

-2¹⁶ < x < 2¹⁶

С учетом 0 < x < 1 получаем 0 < x < 1

2) x > 1

2³² < x²

x² > 2³²

x > 2¹⁶ или x < -2¹⁶

С учетом x > 1 получаем x > 2¹⁶

Уравнение logₓ 4¹⁶ = 2 имеет корни x = 2¹⁶ и x стремится к 1. Следовательно, меньший корень стремится к 1.

Ответ: стремится к 1