762. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел рав- на 919. Найдите эти числа.

Пусть n и n + 1 - два последовательных натуральных числа.

Разность их кубов равна 919, то есть:

$$(n+1)^3 - n^3 = 919$$

$$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 919$$

$$3n^2 + 3n + 1 = 919$$

$$3n^2 + 3n - 918 = 0$$

$$n^2 + n - 306 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-306)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{-1 \pm 35}{2}$$.

$$n_1 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$$

$$n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$$ (не подходит, так как число должно быть натуральным).

Итак, $$n = 17$$, значит, второе число $$n + 1 = 17 + 1 = 18$$.

Ответ: 17 и 18.