756. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей ква- дратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b.

Периметр прямоугольника равен 28 см, следовательно, $$2(a + b) = 28$$.

Сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см², следовательно, $$a^2 + b^2 = 116$$.

Из первого уравнения выразим a + b: $$a + b = 14$$, откуда $$b = 14 - a$$.

Подставим это во второе уравнение: $$a^2 + (14 - a)^2 = 116$$.

$$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 116$$

$$2a^2 - 28a + 80 = 0$$

$$a^2 - 14a + 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$a = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(40)}}{2(1)} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{14 \pm 6}{2}$$.

$$a_1 = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$a_2 = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Если $$a = 10$$, то $$b = 14 - 10 = 4$$.

Если $$a = 4$$, то $$b = 14 - 4 = 10$$.

В обоих случаях стороны прямоугольника равны 10 см и 4 см.

Ответ: 10 см и 4 см.