755. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: n и n + 1.

Квадрат суммы этих чисел: $$(n + (n + 1))^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$$.

Сумма квадратов этих чисел: $$n^2 + (n + 1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$$.

По условию, квадрат суммы больше суммы квадратов на 112, то есть:

$$4n^2 + 4n + 1 - (2n^2 + 2n + 1) = 112$$

$$2n^2 + 2n = 112$$

$$n^2 + n = 56$$

$$n^2 + n - 56 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-56)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}$$.

$$n_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$n_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ (не подходит, так как число должно быть натуральным).

Итак, $$n = 7$$, значит, второе число $$n + 1 = 7 + 1 = 8$$.

Ответ: 7 и 8.