Пример 10. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со стороной 10. Каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол В. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Решение:

Недостаточно данных для решения задачи.

Для решения необходимо знать вторую сторону прямоугольника в основании пирамиды и угол β.

Допустим, вторая сторона прямоугольника равна b, а угол, который каждое ребро пирамиды составляет с основанием равен $$ \beta $$.

Тогда диагональ основания равна $$d = \sqrt{10^2 + b^2}$$

Радиус описанной окружности около основания равен половине диагонали: $$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{100 + b^2}}{2}$$

Высота пирамиды равна: $$h = r \cdot tan(\beta) = \frac{\sqrt{100 + b^2}}{2} \cdot tan(\beta)$$

Если предположить, что основание пирамиды - квадрат, то b = 10, и $$d = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

Пусть $$ \beta = 45^\circ $$, тогда $$tan(45^\circ) = 1$$, $$h = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$

Радиус шара, описанного около пирамиды, можно найти по формуле: $$R = \sqrt{r^2 + (\frac{h}{2})^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{50 + \frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$$

Площадь поверхности шара: $$S = 4\pi R^2 = 4\pi (\frac{5\sqrt{10}}{2})^2 = 4\pi \cdot \frac{25 \cdot 10}{4} = 250\pi$$

Объем шара: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{5\sqrt{10}}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{125 \cdot 10\sqrt{10}}{8} = \frac{1250\sqrt{10}\pi}{6} = \frac{625\sqrt{10}\pi}{3}$$

Ответ: $$S = 250\pi$$, $$V = \frac{625\sqrt{10}\pi}{3}$$ (при условии b = 10 и $$ \beta = 45^\circ $$)