Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной Р сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.

Решение:

Пусть сторона основания пирамиды равна $$a = 3$$, высота равна $$h = 2$$.

Для нахождения расстояния от вершины A до грани PCD воспользуемся формулой:

$$d = \frac{3V}{S_{PCD}}$$

где V - объем пирамиды, $$S_{PCD}$$ - площадь грани PCD.

Найдем объем пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6$$.

Найдем апофему грани PCD:

$$l = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{2^2 + (3/2)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{16+9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$$.

Найдем площадь грани PCD:

$$S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{4}$$.

Найдем расстояние от вершины A до грани PCD:

$$d = \frac{3V}{S_{PCD}} = \frac{3 \cdot 6}{\frac{15}{4}} = \frac{18 \cdot 4}{15} = \frac{6 \cdot 4}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$$.

Ответ: 4.8