37. (ОБЗ) Расстояние между пристанями А и В равно 135 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 80 км. Найдите скорость яхты в непо- движной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 36 км/ч

Решение:

• Плот двигается со скоростью течения реки, то есть 4 км/ч.
• Плот прошел 80 км, значит, он был в пути \[\frac{80}{4} = 20\] часов.
• Яхта вышла через 2 часа после плота, значит, она была в пути 20 - 2 = 18 часов.
• Пусть x км/ч - собственная скорость яхты.
• Тогда скорость яхты по течению равна (x + 4) км/ч, а против течения (x - 4) км/ч.
• Время движения яхты по течению составляет \[\frac{135}{x + 4}\] часов, а против течения \[\frac{135}{x - 4}\] часов.
• Составим уравнение:\[\frac{135}{x + 4} + \frac{135}{x - 4} = 18\]
• Решим уравнение:\[\frac{135(x - 4) + 135(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 18\]\[\frac{135x - 540 + 135x + 540}{x^2 - 16} = 18\]\[\frac{270x}{x^2 - 16} = 18\]\[270x = 18(x^2 - 16)\]\[15x = x^2 - 16\]\[x^2 - 15x - 16 = 0\]
• Решим квадратное уравнение:\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289\]\[x = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm 17}{2}\]\[x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16\]\[x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
• Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость яхты равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч