14. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1 : 2, а площадь ромба равна 12 см².

Пусть диагонали ромба равны $$d_1$$ и $$d_2$$. По условию $$d_1 : d_2 = 1 : 2$$, то есть $$d_1 = x$$ и $$d_2 = 2x$$, где x - коэффициент пропорциональности.

Площадь ромба равна $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$. По условию площадь равна 12 см², то есть $$S = 12$$.

Подставим известные значения в формулу площади: $$\frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x = 12$$

$$x^2 = 12$$

$$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Тогда диагонали ромба равны:

$$d_1 = 2\sqrt{3}$$ см

$$d_2 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см

Сторону ромба можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть сторона ромба равна a.

По теореме Пифагора: $$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$

$$a^2 = (\frac{2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{4\sqrt{3}}{2})^2$$

$$a^2 = (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2$$

$$a^2 = 3 + 12 = 15$$

$$a = \sqrt{15}$$ см

Ответ: сторона ромба равна $$\sqrt{15}$$ см.