20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е. $$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}$$.

Пусть площадь треугольника равна S. Тогда можем записать: $$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$$. Из этих равенств следует:

• $$a = \frac{2S}{h_a}$$
• $$b = \frac{2S}{h_b}$$
• $$c = \frac{2S}{h_c}$$

Тогда отношение сторон треугольника будет равно:

$$a : b : c = \frac{2S}{h_a} : \frac{2S}{h_b} : \frac{2S}{h_c} = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$$

Таким образом, стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано