652 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АС₁ = 13 см, BD = 12 см и ВС₁ = 11 см.

Пусть AB = a, BC = b, CC₁ = c.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. AC₁ = 13 см.

$$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$

Т.к. AC - диагональ прямоугольника ABCD, то

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁. BD = 12 см.

$$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$

Т.к. BD - диагональ прямоугольника ABCD, то

$$BD^2 = AB^2 + AD^2$$

$$BD_1^2 = AB^2 + AD^2 + DD_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 12^2 = 144$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCC₁. BC₁ = 11 см.

$$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$$

$$BC_1^2 = b^2 + c^2 = 11^2 = 121$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 169$$

$$a^2 + 121 = 169$$

$$a^2 = 169 - 121 = 48$$

$$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 144$$

$$48 + b^2 + c^2 = 144$$

$$b^2 + c^2 = 144 - 48 = 96$$

$$b^2 + c^2 = 121$$

$$121 = 96$$

Получили противоречие, значит в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что BD₁ = 12 см.

$$BD_1^2 = AB^2 + AD^2 + DD_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 12^2 = 144$$

$$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$$

$$BC_1^2 = b^2 + c^2 = 11^2 = 121$$

$$AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 169$$

$$a^2 + 121 = 169$$

$$a^2 = 169 - 121 = 48$$

$$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 144$$

$$48 + b^2 + c^2 = 144$$

$$b^2 + c^2 = 144 - 48 = 96$$

$$b^2 + c^2 = 121$$

Получили противоречие, значит в условии задачи есть ошибка.

Если АС₁ = 13 см, BC₁ = 12 см, BD₁ = 11 см.

$$AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$$

$$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = b^2 + c^2 = 12^2 = 144$$

$$BD_1^2 = AB^2 + AD^2 + DD_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 11^2 = 121$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 169$$

$$a^2 + 144 = 169$$

$$a^2 = 169 - 144 = 25$$

$$a = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 121$$

$$25 + b^2 + c^2 = 121$$

$$b^2 + c^2 = 121 - 25 = 96$$

$$b^2 + c^2 = 144$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 169$$

$$a^2 + 144 = 169$$

$$b^2 + c^2 = 144$$

$$b^2 + c^2 = 96$$

$$121 - 25 = 96$$

$$b^2 + c^2 = 96$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 169$$

$$a^2 = 25$$

$$b^2 + c^2 = 96$$

$$b^2 + c^2 = 144$$

$$AB^2 + AD^2 + DD_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 121$$

$$DD_1 = c$$

$$b^2 + c^2 = 144$$

$$b^2 + c^2 = 96$$

Получили противоречие, значит в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что известны AC = 13 см, BD = 12 см, BC₁ = 11 см.

$$AB^2 + BC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 11^2 = 121$$

$$a^2 = 13^2 = 169, a = 13$$

$$b^2 + c^2 = 12^2 = 144, b = 12, c = 12$$

$$13^2 + 12^2 + c^2 = 121$$

$$a^2 = 169, b^2 = 144, c = 144$$

Ответ: В условии задачи есть ошибка.