8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите V_пар. a) √2 см³ б) 729√2 см³ в) 729 см³

Решение: Пусть прямоугольный параллелепипед имеет измерения a, b, c. Диагональ параллелепипеда равна 18 см. По условию, диагональ составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с боковым ребром (например, ребром c). Тогда можно записать следующие соотношения: 1) \(a^2 + b^2 + c^2 = 18^2 = 324\) 2) Угол между диагональю и ребром c равен 45°. Это значит, что проекция диагонали на ребро c равна \(18 * cos(45°) = 18 * \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}\). Таким образом, c = \(9\sqrt{2}\). 3) Угол между диагональю и плоскостью, содержащей ребра c и a, равен 30°. Это значит, что проекция диагонали на плоскость (ca) составляет угол 30°. Тогда синус этого угла равен отношению противолежащего катета (b) к гипотенузе (диагонали). \(sin(30°) = \frac{b}{18} = \frac{1}{2}\), откуда \(b = 9\). Теперь подставим значения b и c в первое уравнение: \(a^2 + 9^2 + (9\sqrt{2})^2 = 324\) \(a^2 + 81 + 162 = 324\) \(a^2 = 324 - 81 - 162 = 81\) \(a = 9\) Объем параллелепипеда равен \(V = a * b * c = 9 * 9 * 9\sqrt{2} = 729\sqrt{2}\) см³. Ответ: б) 729√2 см³