649 Найдите объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если: а) АС = 12 см; б) АС₁ = 3√2 м; в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.

Объем куба равен кубу его ребра.

$$V = a^3$$

a) AC = 12 см

Рассмотрим квадрат ABCD. AC - диагональ квадрата. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

Т.к. AB = BC = a, то

$$AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$

$$a^2 = \frac{AC^2}{2}$$

$$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$

$$V = a^3 = (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2} \text{ см}^3$$

б) AC₁ = 3√2 м

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. AC - диагональ квадрата ABCD, C₁C - ребро куба, AC₁ - диагональ куба.

По теореме Пифагора:

$$AC_1^2 = AC^2 + C_1C^2$$

$$AC^2 = 2a^2, C_1C = a$$

$$AC_1^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$

$$a^2 = \frac{AC_1^2}{3}$$

$$a = \frac{AC_1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$$

$$V = a^3 = (\sqrt{6})^3 = 6\sqrt{6} \text{ м}^3$$

в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. DE = 1 см, AE = a/2.

По теореме Пифагора:

$$AD^2 = DE^2 + AE^2$$

$$a^2 = 1^2 + (\frac{a}{2})^2$$

$$a^2 = 1 + \frac{a^2}{4}$$

$$a^2 - \frac{a^2}{4} = 1$$

$$\frac{3}{4}a^2 = 1$$

$$a^2 = \frac{4}{3}$$

$$a = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$V = a^3 = (\frac{2\sqrt{3}}{3})^3 = \frac{2^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \text{ см}^3$$

Ответ: а) $$432\sqrt{2} \text{ см}^3$$, б) $$6\sqrt{6} \text{ м}^3$$, в) $$\frac{8\sqrt{3}}{9} \text{ см}^3$$