654 Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью основания. с плоскостью боковой грани и угол β Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна һ.

Пусть диагональ составляет угол α с плоскостью основания и угол β с плоскостью боковой грани, а высота равна h.

Пусть a, b, c – стороны параллелепипеда, где c = h.

Тогда диагональ основания равна $$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$$. Диагональ параллелепипеда равна $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}$$.

Угол между диагональю и плоскостью основания равен α, следовательно, $$\cos(\alpha) = \frac{d_{осн}}{d} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}}$$.

Угол между диагональю и боковой гранью равен β, следовательно, $$\sin(\beta) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}}$$.

Из $$d^2 = a^2 + b^2 + h^2$$ выразим a и b через известные величины:

$$a = d \cdot \sin(\beta)$$, $$\sqrt{a^2 + b^2} = d \cdot \cos(\alpha)$$.

Тогда $$a^2 + b^2 = d^2 \cdot \cos^2(\alpha)$$. Подставим выражение для $$a = d \cdot \sin(\beta)$$:

$$d^2 \cdot \sin^2(\beta) + b^2 = d^2 \cdot \cos^2(\alpha)$$

$$b^2 = d^2 (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$$

$$b = d \cdot \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$$

Но также мы знаем, что

$$d^2 = a^2 + b^2 + h^2 \implies a^2 + b^2 = d^2 \cos^2 \alpha \implies a^2 + b^2 = d^2 - h^2$$

$$h^2 = d^2 - (d \cdot \cos(\alpha))^2 = d^2(1 - \cos^2(\alpha))$$

$$h = d \cdot \sin(\alpha)$$

$$d = \frac{h}{\sin(\alpha)}$$

$$a = \frac{h}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta)$$,

$$b = \frac{h}{\sin(\alpha)} \cdot \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$$

$$V = a \cdot b \cdot c = \frac{h^3}{\sin^2(\alpha)} \cdot \sin(\beta) \cdot \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$$

Ответ:$$\frac{h^3}{\sin^2(\alpha)} \cdot \sin(\beta) \cdot \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$$